Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн. Двоичная система счисления Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".

Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Получить запись

Выполнено переводов: 3443470

Также может быть интересно:

• Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка : 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 273 10 = 421 8

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.125 10 = 0.001 2

Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Количество различных цифр , используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде полинома от основания :

где
- число, - цифры числа (коэффициенты при степенях ),- основание системы счисления (>1).

Числа записывают в виде последовательности цифр:

.
, точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).

В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из которых обозначается 0, а другое - 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:
.
, где либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (см. таблицу 1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: A (10), В (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадцатеричная система, так же как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (см. табл. 1).

Таблица 1.

Алфавиты позиционных систем счисления (сс)

Двоичная сс (Основание 2)	Восьмеричная сс (Основание 8)		Десятичная сс (Основание 10)	Шестнадцатеричная сс (Основание 16)
		Двоичные			Двоичные тетрады

Задание 1. Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.

Методические указания.

Перевод чисел в десятичную системуосуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.

Примеры .

а) Перевести с.с. 

.

б) Перевести
с.с.

в) Перевести
с.с.

Задание 2. Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системыосуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.

Примеры .

а) Перевести
с.с.

181: 8 = 22 (остаток 5)

22: 8 = 2 (остаток 6)

2: 8 = 0 (остаток 2)

Ответ:
.

б) Перевести
с.с.

В таблице представлено деление:

622: 16 = 38 (остаток 14 10 = Е 16)

38: 16 = 2 (остаток 6)

2: 16 = 0 (остаток 2)

Ответ:
.

Задание 3. Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Все позиционные системы счисления являются равноправными, но в зависимости от тех задач, которые решает человек с использованием чисел он может применять системы счисления с разными основаниями.

Наиболее часто используется десятичная система счисления, т.е. система счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и соответственно основание равно десяти. Широкое применение этой системы счисления легко объяснимо. Во-первых, запись числа в десятичной системе счисления достаточно компактна, во-вторых, десятичная система счисления используется человечеством на протяжении уже нескольких веков. За это время люди уже привыкли и к цифрам, и к записи чисел, и к произношению чисел в десятичной системе счисления, например, запись «15» понятна любому человеку и он ее прочитает как пятнадцать, но то же самое число записанное в двоичной системе счисления «1111», вызывает, по крайней мере, легкое недоумение, а как же прочитать это число.

И все же однозначно утверждать, что десятичная система счисления является оптимальным выбором человечества для работы с числами нельзя. Докажем это несколькими примерами.

Все вы помните таблицу умножения и конечно же помните сколько усилий вам пришлось приложить, что бы выучить эту таблицу. Не будем приводить здесь таблицу умножения в десятичной системе счисления, но для сравнения приведем таблицу умножения в двоичной системе счисления:

Как видите, таблица умножения в двоичной системе счисления выглядит значительно проще, чем в десятичной.

Компактность записи чисел в десятичной системе счисления, то же не самая высокая, во всех системах счисления с основанием больше десяти числа будут записываться более компактно, например, тоже число «15», в шестнадцатеричной системе счисления запишется как «F ».

Как уже говорилось в параграфе 5, для записи чисел в ЭВМ принята двоичная система счисления. В этом параграфе мы должны разобраться, а как же представляются числа в памяти ЭВМ, для этого будет достаточно понять правила перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления.

На практике, для перевода чисел из системы счисления с основание десять в систему счисления с основанием два, пользуются следующим правилом:

1.Число, записанное в системе счисления с основанием десять, делится с остатком на два (основание новой системы счисления), записанное цифрами системы счисления с основанием десять (старой системы счисления), до тех пор, пока в частном не получится 0.

2.Остатки, полученные от деления, записанные в обратном порядке, образуют число в новой системе счисления с основанием два.

Данным правилом удобнее пользоваться для перевода чисел из десятичной системы счисления. Для обратного перевода, в десятичную систему счисления удобнее использовать так называемую схему Горнера .

1.Пронумеровать позиции в числе, справа на лево, начиная с нулевой;

2.Составить ряд, представляющий собой сумму произведений цифр числа на основание старой системы счисления, записанное цифрами новой системы счисления, возведенное в степень равную номеру позиции цифры в числе;

3.Найти сумму ряда.

Разберем данные правила на конкретных примерах.

Пример 1 : Записать десятичное число 121 в двоичной системе счисления.

121 | 2 121 D =1111001 B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2